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GÉOMÉTRIE Cours & Exercices corrigés

Auteur: 
Lakehal BELARBI
Editeur: 
Editions Al-Djazair
Date de parution: 
09/06/2021
Nombre de page: 
190
Fichier joint :
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Description :

Ce Cours avec exercices corrigées est destiné aux étudiants de deuxième année licence mathématiques ”L2” cycle LMD. Il couvre le programme de la matière de ”Géométrie” et propose quelques pistes aux étudiants qui souhaitent approfondir leur connaissances dans le domaine de la géométrie. Le but principal est de présenter la théorie des courbes et des surfaces, géométrie affine, ainsi des intégrales curvilignes (pour les surfaces plongées dans R3), ainsi que celle de diverses formules de transformation à la Stokes.
Dans un premier chapitre, on expose les notions utiles pour la maitrise de la théorie des courbes, qui en fait définitions des courbes dans Rn, Longueur d’un arc de courbe, paramétrisation par la longueur d’arc, courbure des courbes du plan, repère de Frenet pour les courbes planes et gauches.
Pour ensuite, étudier les théories des surfaces, d’abord sous la forme d’un objet paramétré par deux nombres réels. (Pour les spécialistes : ces surfaces n’ont qu’une carte afin d’éviter une complexité´ réservée `a une année ultérieure (qui sera étudiée en détail en Master 1), ce qui n’empêche pas de commencer à se familiariser avec la notion de paramétrisation). L’objet de surface peut prendre également la forme d’une surface de niveau d’une fonction de trois variables ou du graphe d’une fonction de deux variables. On compare ces diverses présentations et on montre qu’elles coïncident toujours au voisinage d’un point (régulier pour la surface de niveau). On introduit ensuite la notion d’espace tangent à la surface en un point, les formes fondamentales et leurs applications, la notion de courbures (de Gauss , moyenne et les courbures principales), aire d’une surface, l’application de Weingarten, surfaces minimales (de révolutions réglées et problème de Scherk).
Dans le troisième chapitre on donne la notion d’un espace affine. C’est un ensemble de points, il contient des droites, des plans et la géométrie affine discute, par exemple, des relations entre ces points et ces droites (points alignés, droites parallèles ou concourantes...). On définit ensuite la notion de barycentre, issue de la mécanique, y joue un rôle essentiel. Nous étudierons ensuite les applications affines : Ce sont celles qui conservent les barycentres. Leur importance vient de ce que la quasi-totalité des transformations géométriques que vous avez pu rencontrer, en particulier les isométries et plus généralement les similitudes, sont affines.
Le dernier chapitre est consacré aux formes différentielles, nous présentons les définitions des formes p−linéaires alternées, des formes différentielles, intégration d’une forme différentielle sur une p−courbe, l’énoncé des théorèmes de la formule de Green-Riemann, la formule d’Ostogradsky, formule de Stokes et le théorème de Poincaré.
Enfin, nous signalons que ce cours est le fruit des cours et des travaux dirigées dispensées durant plusieurs années d’enseignement de deuxième année licence Mathématiques cycle LMD au département de Mathématiques de l’Université Abdelhamid Ibn Badis de Mostaganem.
 
Lakehal BELARBI est Professeur en mathématiques à l'Université Abdelhamid Ibn Badis de Mostaganem. Titulaire d'un PhD en Mathématiques option Géométrie Différentielle de l'Université Djillali Liabès de Sidi Bel Abbès en Algérie.